Logika rozmyta (ang. fuzzy logic)

Podstawy teorii zbiorów rozmytych.

Teoria zbiorów rozmytych została sformułowana przez prof. Lotfi Zadeha w połowie lat sześćdziesiątych jako alternatywa dla klasycznych pojęć dotyczących teorii zbiorów i logiki pochodzących jeszcze z czasów starożytnej filozofii greckiej. Przesłanki do jej powstania i rozwoju wynikły z potrzeby opisania złożonych zjawisk lub słabo zdefiniowanych pojęć, trudnych do opisania przy pomocy klasycznego aparatu matematycznego.

Naturalny język operuje pojęciami niedokładnymi i jakościowymi, na przykład “Jaś jest wysoki” lub “Dzisiaj jest bardzo zimno”. Takie pojęcia jest bardzo przetłumaczyć na język zrozumiały dla maszyn nic nie tracąc z samego ich charakteru. Dla człowieka bardziej naturalny jest opis otaczającego świata za pomocą słów, czyli wielkości jakościowych. Na przykład określanie wzrostu za pomocą słów: mały, średni, wysoki jest bardziej naturalne i prostsze niż oszacowanie go w centymetrach lub calach.

Opis jakościowy jest mniej precyzyjny i zależny od osoby opisującej. Nieprecyzyjność ta nie wynika z braku wiedzy o wartości pewnej wielkości, ale właśnie z subiektywnej oceny osoby lub grupy osób. Wzrost równy 165cm. traktowany jest jako niski przez współczesnego Polaka, natomiast przez Pigmeja jako bardzo wysoki. Subiektywne określanie pewnych własności prowadzi do rozmycia granic zbioru obiektów, do których ta własność się odnosi. Człowiek o wzroście 170cm. przez jedną grupę zostanie zaliczony do zbioru osób niskich, a przez inną do zbioru osób o średnim wzroście. Zgodnie z klasyczną teorią zbiorów osoba o takim wzroście. nie mogłaby jednocześnie należeć do zbiorów: osób średnich i niskich. Oczywiście każdy indywidualnie może ustalić ostre granice między określeniami mały, średni i wysoki, ale granice te będą inne się dla różnych osób-ekspertów. W jednej sytuacji wzrost 170cm. może być uznany jako średni a w innej jako niski przez tego samego człowieka.

Jest to teoria w szczególny sposób przydatna w przypadku systemów, w których czynnik ludzki odgrywa zasadniczą rolę, takich jak medycyna, ekonomia, socjologia, teoria podejmowania decyzji, ale także w wielu dziedzinach techniki. Podstawą wielu z nich są koncepcje nieokreślone precyzyjnie, a sposób rozumowania i interpretowania pewnych wielkości jest często raczej przybliżony aniżeli ścisły.

Ponadto, zastosowanie ilościowych technik objawia swe słabości przy opisie złożonych systemów - wielowymiarowych, hierarchicznych, z wewnętrznymi sprzężeniami zwrotnymi.

Można by pomyśleć, że metody teorii zbiorów rozmytych nie powinny znajdować zastosowania w dyscyplinach naukowych związanych z techniką. W rzeczywistości jednak bardzo często mamy do czynienia z zagadnieniami określonymi nie do końca bądź nieprecyzyjnie.

Przytoczony jest poniżej jeden przykład procesu projektowania układu regulacji. W procesie takim projektant stara się sprostać wielu ograniczeniom o charakterze nieostrym, takim jak np. czas trwania odpowiedzi układu, bądź wielkość przeregulowania sygnału wyjściowego. Wiele z nich wynika bezpośrednio ze specyfiki procesu, jednak wciąż pozostaje pewna dowolność interpretacji tych ograniczeń, tym bardziej w przypadku słabej znajomości systemu. Wielkość przeregulowania rzędu 10% dla jednego projektanta może być niedopuszczalna, jednak inny uzna tę wielkość za wystarczającą. Innymi słowy jeden uzna ją za “dużą”, a inny za “małą”.

Sformułowania tego typu są nieprecyzyjne, jednak wcale nie pozbawione sensu. Metody teorii zbiorów rozmytych próbują nadawać formalny sens semantyce tego rodzaju sformułowań.

Historia

Matematyka zawdzięcza swój sukces w głównej mierze wysiłkom Arystotelesa oraz jego poprzedników. Starali się oni zbudować zwartą i precyzyjną teorię logiki, a później matematyki. Głosili, że każde stwierdzenie może być jedynie prawdziwe lub fałszywe. Jednakże nawet wtedy były duże obiekcje otoczenia i na przykład Heraklit proponował, że rzeczy mogą być jednocześnie prawdą i nieprawdą.

Jako osobę, która położyła podwaliny pod to, co obecnie rozumiemy jako logikę rozmytą, powinniśmy uważać Platona, który wskazywał ma trzeci obszar (coś pomiędzy prawdą a fałszem). Nowożytni filozofowie również próbowali uwzględniać szarą strefę pomiędzy białym (prawda) i czarnym (fałsz). W głównej mierze byli to Hegel ale też Marks i Engels. Ale dopiero Łukasiewicz jako pierwszy zaproponował jakąś systematyczną alternatywę dla dwuwartościowe logiki Arystotelesa.

W początku dwudziestego wieku Łukasiewicz przedstawił logikę trójwartościową wraz z wynikającą z niej matematyką. Trzecia wartość jest rozumiana jako możliwy i ma przypisaną wartość numeryczną pomiędzy prawdą i fałszem. Równocześnie zaproponował całościową notację oraz system aksjomatów, który mógł pozwolić na wyprowadzenie nowoczesnej matematyki. Później zajmował się logikami wielowartościowymi i nie widział przeszkód w zbudowaniu zasad logiki o nieskończonej liczbie wartości.

W odmiennym kierunku zmierzały prace innego polskiego matematyka, Leśniewskiego. U podstaw stworzonej przez niego teorii, znanej pod nazwą mereologii, leży zmiana aksjomatu przynależności elementu do zbioru. Zakłada on, że dany element nie jest elementem, ale częścią zbioru. Na tej podstawie stworzył on podstawy do budowy odpowiednich zasad logiki i operacji na tych zbiorach. Okazało się, że proponowane przez niego aksjomaty można próbować rozszerzać, aż do momentu uwzględnienia zbiorów rozmytych oraz teorii zbiorów przybliżonych (ang. rough sets) autorstwa prof. Zdzisława Pawlaka. Rozszerzenie te można znaleźć pod nazwą mereologii przybliżonej.

Podstawowe założenia

Wracając jednak do głównego nurtu logik wielowartościowych, w 1965 roku prof. Lotfi Zadeh opublikował swoją pracę “Fuzzy Sets”, gdzie zawarł opis proponowanej teorii zbiorów rozmytych oraz logiki rozmytej.

Zadeh proponuje następujące pojęcie zmiennej lingwistycznej: ”Przez zmienną lingwistyczną rozumiemy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym”. Zwykle przyjmuje się następujący szablon związany z pojęciem zmiennej lingwistycznej:

á X, L X, X, MXń

gdzie:

X 	- oznacza symboliczną nazwę zmiennej lingwistycznej np.: wzrost, temperatura, wiek.
L X 	- zbiór wartości lingwistycznych, które może przyjąć X np.: dla zmiennej lingwistycznej wzrost zbiorem wartości może być {niski, średni wysoki}. 
X 	- rzeczywista, ilościowa dziedzina fizyczna zmiennej X. 
MX 	- funkcja przeliczająca wartości lingwistyczne, na elementy ilościowe X.

Klasyczny zbiór jest kolekcją obiektów jakiegoś rodzaju z obszaru rozważań. Niech X oznacza pewną przestrzeń rozważań, a A zbiór określony na tej przestrzeni. O każdym z elementów z tej przestrzeni można jednoznacznie powiedzieć, czy należy do zbioru A, czy nie. Jednym ze sposobów definiowania zbioru jest zastosowanie predykatu P(x) oznaczającego, że każdy element x zbioru X ma własność P. Innym sposobem jest zdefiniowanie zbioru A za pomocą funkcji charakterystycznej m A. Można zdefiniować A na obszarze X w następujący sposób:

Funkcja

m A: X->{0;1}

jest funkcją charakterystyczną zbioru A

W teorii zbiorów rozmytych własność ta jest uogólniana. W zbiorze rozmytym F na obszarze rozważań X nie jest konieczne, aby albo xÎ F albo xĎ F. Funkcja charakterystyczna dla zbioru rozmytego przyporządkowuje każdemu x z obszaru rozważań X wartość z przedziału [0;1], a nie jak w przypadku zbiorów ostrych z dwuelementowego zbioru {0;1}.

Funkcja:

m F:X->[0;1] m F(x) = f(x)

jest funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego F.

Funkcja ta nazywana jest funkcją przynależności. Interpretuje się jej wartość dla danego x jako stopień, z jakim x należy do zbioru rozmytego. Każdy element x z obszaru rozważań X należy do zbioru rozmytego F zdefiniowanego na tym obszarze z pewnym stopniem przynależności (stopniem zaufania) określonym przez m F(x).

Inne podejście wiąże teorię zbiorów rozmytych z rachunkiem prawdopodobieństwa. Można zdefiniować prawdopodobieństwo subiektywne, które nie ma interpretacji częstościowej, ale jest wielkością odzwierciedlającą subiektywne przekonanie, że pewne zdarzenie może zajść. Nie jest wymagane, aby suma prawdopodobieństw wszystkich możliwości była równa 1. Prawdopodobieństwo takie obrazuje niepewną wiedzę obserwatora o stanie rzeczy. Funkcję przynależności można potraktować jako rozkład tak określonych prawdopodobieństw, a zdarzenia odpowiadają wartościom zmiennych lingwistycznych.

Rys. 1 Zbiory klasyczne a zbiory rozmyte.

Każde z pojęć lingwistycznych opisujących pewną własność może być reprezentowane przez zbiór rozmyty. Niech przestrzeń X jest wzrostem wyrażonym w centymetrach. Określone zostały trzy zbiory w przestrzeni X: niski, średni, wysoki. Na rysunku Rys. 1 przedstawione zostały te zbiory w ujęciu klasycznym i rozmytym. Osoba o wzroście 167 cm. jest osobą średniego wzrostu w pojęciu zbiorów ostrych, natomiast w pojęciu zbiorów rozmytych należy do zbioru osób średnich ze stopniem przynależności 0.7 i zbioru osób niskich ze stopniem przynależności 0.3. Można przeprowadzić sondaż wśród pewnej grupy ekspertów i zadać pytanie: Czy wzrost x jest niski, średni, czy wysoki ? Wyniki tego badania mogą posłużyć do skonstruowania zbiorów rozmytych odpowiadających pojęciom lingwistycznym: niski, średni, wysoki.

Pojęcia lingwistyczne takie jak: ciepły, niski, szybki są znaczeniowo zależne od rzeczywistych obszarów rozważań. W sterowaniu rozmytym stosuje się pojęcia lingwistyczne niezależne znaczeniowo od poszczególnych obszarów: mały, duży, średni, duży ujemny, ujemny, zerowy, dodatni, duży dodatni itd.

Funkcja przynależności

Funkcja przynależności może być dowolną funkcją odwzorowującą obszar rozważań X na przedział domknięty [0;1]. W praktyce stosuje się tylko kilka typów funkcji, które zostały poniżej.. Wykorzystuje się również opis funkcji przynależności poprzez tabelę wartości.

Singleton

Trójkąt

Trapez

Sigmoida

Schematy wnioskowania

Rys. 2 Schemat wnioskowania rozmytego.

Zastosowanie zbiorów rozmytych umożliwia stworzenie rozmytego modelu systemu, reprezentującego istotne cechy za pomocą aparatu teorii zbiorów rozmytych. Najważniejszą cechą takich systemów jest to, że ich podstawą jest pojęcie kodowania rozmytego informacji. Systemy rozmyte operują na zbiorach rozmytych zamiast na liczbach, co umożliwia uogólnienie informacji.

Schemat takiego modelowania znajduje się na poniższym rysunku (Rys. 2). Polega na przetworzeniu zmiennych ilościowych na pojęcia lingwistyczne, następnie modelowaniu systemu na podstawie bazy reguł, która może odzwierciedlać naszą wiedzę o systemie, a na koniec przetworzeniu wyjść z powrotem na zmienne ilościowe. W ten sposób taki model układu za pomocą wnioskowania określa wyjście systemu na jeden krok wprzód.

Można zbudować opis systemu za pomocą reguł postaci “jeśli ... to ...”, które mogą pochodzić z kilku źródeł: wiedzy eksperckiej, modelowania jakościowego lub algorytmów automatycznego pozyskiwania wiedzy. Przesłanki (poprzedniki) składają się z koniunkcji i/lub alternatyw wyrażeń lingwistycznych typu “x jest A”, gdzie x jest zmienną, a A jej wartością lingwistyczną. Lingwistyczne “jest” oznacza przynależność do danego zbioru rozmytego opisanego etykietą “A”. Konkluzje (następniki) są zazwyczaj pojedynczym wyrażeniem typu “y jest B”.

Poszczególne elementy tego systemu spełniają następujące funkcje:

 Rozmywanie (fuzyfikacja) - operacja przekształcająca sygnały wejściowe z dziedziny ilościowej na wielkości jakościowe reprezentowane przez zbiory rozmyte na podstawie określających je funkcji przynależności.

Zmienne wejściowe jak i wyjściowe są wartościami rzeczywistymi, więc w praktyce zakres ich zmienności jest skalowany w większości zastosowań do domkniętego przedziału, np. [-1 ; 1]. Operacja taka nazywana jest normalizacją, a przekształcenie odwrotne - denormalizacją przestrzeni zmiennych. Współczynniki takiej normalizacji mogą zapewniać zarówno liniowe jak i nieliniowe odwzorowanie. Wartości rozmyte są więc podzbiorami rozmytymi tych przedziałów.

 Wnioskowanie rozmyte - operacja wyznaczania w dziedzinie jakościowej wartości wyjść na podstawie wejść za pomocą zbioru reguł rozmytych.

 Baza reguł - reprezentuje wiedzę jakościową o systemie w postaci zbioru reguł rozmytych w postaci wyrażeń jeśli-to. W przypadku układu MISO mają one postać:

 

Reguły takie można łatwo zapisać metodami logiki rozmytej przez wyrażenia warunkowe połączone operatorami logicznymi. Lingwistyczne jest oznacza przynależność do poszczególnych zbiorów rozmytych, spójnik i zastąpić można operatorem Ů . Reguły mogą opisywać zarówno modele o wielu wejściach i jednym wyjściu (MISO) jak i wielu wyjściach (MIMO).

 Wyostrzanie (defuzyfikacja) - operacja przekształcająca sygnały wyjściowe systemu z dziedziny jakościowej na ilościową.

Operacja wyostrzania umożliwia następnie wyznaczenie ilościowej wartości dla zmiennej wyjściowej na podstawie znajomości zbioru F. Istnieje kilka strategii obliczania numerycznej wartości wyjścia - y*, takie jak metody Środkowy z Największych (MOM) lub metoda Wysokości (HM). Jedną z najczęściej stosowanych jest metoda Środka Ciężkości (COG) w której wartością wyjścia jest rzut środka ciężkości kształtu tworzonego przez zbiór F:

Metoda środka ciężkości

Modele wnioskowania dzielą się na dwie zasadnicze kategorie. Pierwszą są Modele Lingwistyczne, których podstawą jest zbiór reguł jeśli-to stanowiących jakościowy opis systemu, najbardziej bliski językowi naturalnemu.

Drugą kategorią są modele oparte na wnioskowaniu Takagi-Sugeno. Te modele są tworzone przez reguły logiczne, które mają rozmytą część poprzedników i funkcyjny następnik; w istocie są kombinacją modeli rozmytych i klasycznych - liniowych.

Modele rozmyte z wnioskowaniem typu Mamdani.

Modele rozmyte oparte na wnioskowaniu typu Mamdaniego (Rys. 4) opierają się na bazie reguł i stosowaniu operatorów lingwistycznych. Jest to podejście najbardziej naturalne z punktu widzenia logiki rozmytej i tym samym jest szeroko stosowane. Wnioskowanie wg Mamdaniego jest wykorzystywane głównie w układach regulacji, gdzie reguły dają wyrażenia lingwistyczne strategii sterowania oparte na znajomości eksperckiej systemu i zdrowym rozsądku.

jeśli u1 jest B11 ii ur jest B1r

to y jest Y1

także

także

jeśli u1 jest Bm1 ii ur jest Bmr

to y jest Ym

Wyjście każdej reguły opisane jest etykietą lingwistyczną, a wyjście całego modelu wyznaczane jest przez superpozycję wyjść poszczególnych reguł w następujący sposób:

 dla każdej reguły obliczana jest siła jej odpalenia:

 wyznaczany jest zbiór rozmyty Fi wyprowadzany przez i-tą regułę:

 przeprowadzana jest agregacja powstałych zbiorów za pomocą operacji max:

Prosty przykład dla dwóch zmiennych wejściowych i dwóch reguł można przedstawić graficznie (Rys. 4):

Rys. 4. Graficzne przedstawienie wnioskowania wg. Mamdaniego.

 

Modele z wnioskowaniem typu Takagi - Sugeno.

Znaną wadą modeli lingwistycznych jest fakt, że nie zawierają one w jawnej postaci obiektywnej wiedzy o systemie, która to wiedza nie może być często wcielona w ramy zbiorów rozmytych. Tego rodzaju wiedza jest mimo wszystko często dostępna i może stanowić doskonałą podstawę dla modelowania rozmytego. Sugeno i współpracownicy zaproponowali alternatywny sposób wnioskowania rozmytego. Metoda ta oparta jest na bazie reguł specjalnego formatu, który odznacza się następnikami typu funkcyjnego używanymi w miejsce następników rozmytych jak w modelu lingwistycznym.

jeśli u1 jest B11 ii ur jest B1r

to y1 = b10+b11u1+…+b1rur

także

także

jeśli u1 jest Bm1 ii ur jest Bmr to ym = bm0+bm1u1+…+bmrur

Baza reguł w tej metodzie ma postać przedstawioną w ramce obok, przy czym Bij są etykietami lingwistycznymi określonymi jako zbiory rozmyte odniesienia na przestrzeniach wejściowych X1,…,Xr, a u1,…,ur są zmiennymi wejściowymi. Następniki są w tym przypadku funkcjami liniowymi zmiennych wejściowych, o parametrach b10,…,bmr. Wyjście nierozmyte takiego modelu jest określone przez średnią ważoną wyjść yi poszczególnych modeli:

gdzie t i jest siłą odpalenia i-tej reguły:
t i = m i1(u1) * * m ir(ur)	

Zawarcie ilościowej wiedzy w części następników reguły nie wymaga stosowania metod defuzyfikacji w celu obliczenia numerycznej wartości wyjścia.

W geometrycznym ujęciu reguły wnioskowania Takagi-Sugeno odpowiadają przybliżeniu odwzorowania X1 ´´ Xr ® Y za pomocą funkcji odcinkami liniowej, z tym, że podział przestrzeni wejściowej na zbiory rozmyte umożliwia “gładkie” przechodzenie między poszczególnymi funkcjami liniowymi.

Wnioskowanie tego typu można zastosować do stworzenia modelu układu dynamicznego, przez zastąpienie zmiennych wejściowych u1, …, ur wartościami przeszłymi wyjściowymi yk-1,…,yk-n oraz wartościami przeszłymi i bieżącymi wejściowymi uk,…,uk-n. Modeluje to dyskretny układ dynamiczny SISO, jednak w prosty sposób można rozszerzyć te metody na układy o wielu wejściach. W ten sposób uzyskuje się bazę reguł w których następniki są równaniami różnicowymi opisującymi poszczególne podsystemy. Model tego rodzaju systemu pokazuje poniższy rysunek (Rys. 5).

Rys. 5 Schemat modelu z wnioskowaniem Takagi-Sugeno

Interpretacja modeli typu Takagi-Sugeno

Modelowanie z wnioskowaniem Takagi-Sugeno ma tę zaletę, że pozwala wykorzystać bogaty aparat analizy liniowych układów dynamicznych. Łączy więc w sobie zalety klasycznego i rozmytego podejścia. Jednak prostota modelu Takagi-Sugeno jest pozorna, gdyż stawia on przed projektantem wymaganie nie tylko określenia współczynników bij pojawiających się w podmodelach liniowych, ale także określenia zbiorów rozmytych Bij. Ilość tych zbiorów określa zależy od podziału przestrzeni wejściowej i wyznacza strukturę całego modelu oraz liczbę reguł.

Problem staje się jeszcze bardziej skomplikowany w przypadku konstruowania modelu jakościowego wyłącznie na podstawie danych wejście-wyjście, czyli kiedy obiekt czy system traktowany jest jako czarna skrzynka. W takich przypadkach konstrukcja modelu przebiega w dwóch fazach:

 identyfikacja struktury modelu rozmytego - obejmuje wyznaczanie zmiennych wejściowych i wyjściowych, relacji między nimi, podziału zakresów zmienności zmiennych na zbiory rozmyte.

Jest to proces trudny, wyjątkowo źle zdefiniowany i sformalizowany. Wymaga od projektanta najwięcej doświadczenia i intuicji, pomocą stać się może jedynie wiedza ekspercka o procesie.

 identyfikacja parametryczna - obejmuje estymację funkcji przynależności i parametrów modeli liniowych. Na tym etapie stosowanych jest wiele metod i algorytmów. Jedną z nich jest zastosowanie sieci neuronowych w celu uczenia parametrów modelu metodą wstecznej propagacji. Stawia to dodatkowy problem zapisania modelu rozmytego w strukturze sieci neuronowej, doboru algorytmu uczenia i doboru parametrów początkowych.

Teoria liniowych układów dynamicznych jest bardzo dobrze znana i wykorzystywana od wielu lat do opisu różnych procesów. Otaczający świat jest jednak nieliniowy i w wielu rzeczywistych przypadkach teorii tej nie zawsze można używać. Stworzenie dobrego modelu procesu nieliniowego nie jest proste. Jeśli dobrze znana jest natura zjawisk zachodzących w układzie, można stworzyć na podstawie wiedzy teoretycznej model matematyczny. W przypadku nieliniowości nie wprowadzających jakościowych zmian zachowania się układu oraz przy założeniu niewielkich odchyleń współrzędnych stanu od punktu pracy dokonuje się linearyzacji układu dynamicznego wokół tego punktu pracy. Takie uproszczenie jest często wystarczające do syntezy algorytmu sterowania. W przypadku znacznych nieliniowości można utworzyć wiele różnych lokalnie poprawnych modeli liniowych i posklejać je, wtedy nieliniowość procesu jest realizowana poprzez przełączanie pomiędzy tymi modelami. Powstaje przy tym problem, jak określić granice obszarów w jakich modele liniowe są odpowiednie. Niepożądaną cechą jest też niegładkie przełączanie. Można ulepszyć takie modelowanie poprzez “rozmycie” granic obszarów, czyli wprowadzenie funkcji przynależności dla lokalnych modeli liniowych. Prosty przykład pozwoli wyjaśnić ideę modelowania rozmytego kawałkami liniowego i problemy z nim związane.

Rys. 6 Wykres funkcji (czerwony) oraz jej aproksymacje “ostra” (czarny) i “rozmyta” (granatowy).

Na rysunku Rys. 6a przedstawiono wykres funkcji:

¦ (x) = 0.1× x× (x-7.5)× (x+7.5)

dla xÎ [-10;10] 

oraz jej najlepszą aproksymację odcinkowo liniową z ostrym granicami między obszarami oraz opartą na niej aproksymację rozmytą. Granice ostre między poszczególnymi obszarami są w x=5 oraz x=-5 i zostały określone na podstawie wykresu funkcji f(x). Współczynniki a i b aproksymujących funkcji y=ax+b są jednakowe dla aproksymacji “ostrej” i “rozmytej” w odpowiednich obszarach, różnica tkwi jedynie w określeniu, czy granice obszarów są ostre, czy nie. Funkcje przynależności dla aproksymacji rozmytej zostały tak wybrane, aby uzyskać jak najmniejszy błąd. Wskaźnikiem jakości aproksymacji jest błąd średniokwadratowy:

gdzie:

n - ilość punktów próbkowania, 
¦ i wartość funkcji w i-tym punkcie, 
¦ i* wartość aproksymacji funkcji w i-tym punkcie. 

Błąd ten dla aproksymacji “ostrej” równy jest 2.86, natomiast dla “rozmytej” 3.30. Na następnym rysunku Rys. 6b przedstawiona jest aproksymacja “rozmyta” po jednoczesnym dostrojeniu funkcji przynależności i współczynników a i b funkcji liniowych. W tym przypadku błąd średniokwadratowy równy jest 1.47. Na podstawie tego przykładu można stwierdzić, że utworzenie dobrego modelu kawałkami liniowego z gładkim przełączaniem, nie jest sprawą prostą. Rozmycie granic dla dobrego modelu “ostrego” nie musi doprowadzić do lepszego modelu “rozmytego”.

Modelowanie kawałkami liniowe o gładkim przełączaniu z “rozmytymi” granicami między obszarami nazywane jest modelowaniem z wnioskowaniem typu Takagi-Sugeno, które jest uznawane za szczególny przypadek wnioskowania rozmytego. Wyróżniającą cechą jest część konkluzji określająca wyjście jako kombinację liniową nierozmytych (liczbowych wartości) wielkości wejściowych. Nie jest zatem potrzebny blok wyostrzania.

 

...powrót na stronę główną