Wielomian interpolacyjny Lagrange’a

 

Zakładamy , że mamy określoną funkcję f(x) w przedziale < a , b > , oraz dany jest ciąg różnych punktów xi należących do tego przedziału (węzły interpolacji są rozmieszczone dowolnie) i wartości funkcji yi = f(xi) dla i = 0,1,2,...,n .

Szukamy wielomianu y = F(x) stopnia co najwyżej n , dla którego

 

                    F(xi) = yi   dla   i = 0,1,2,...,n  ;                                                              (2.1.1)

 

Przyjmuje więc on wartości takie same jak funkcja f(x) w węzłach interpolacji .

Szukany wielomian można przedstawić w postaci :

 

                    F(x) =a0 + a1x1 +  … + anxn   ;                                                               (2.1.2)

 

Podstawiając do wielomianu (2.1.2) wartości (2.1.1) otrzymujemy układ n + 1 równań z n + 1 niewiadomymi współczynnikami ai .

 

                       a0 + a1x01 +  ... +  anx0n = y0

                       a0 + a1x11 + … +  anx1n = y1

                               …………………….… = …

                       a0  + a1xn1 + … + anxnn = yn                                                                (2.1.3)

 

Układ (2.1.3) ma jednoznaczne rozwiązanie , jeżeli

 

                         dla      gdy        

 

Wyznaczając wartości współczynników ai otrzymujemy szukany wielomian interpolacyjny F(x) .

            Rozwiązując powyższe zagadnienie ogólnie musimy bezpośrednio skonstruować wielomian F(x) spełniający warunki (2.1.1) . [8]

  1. Wyznaczymy wielomian w0(x) , który dla x = x0 będzie równy 1 tzn.w0(x0) = 1 i dla x = xi ( i = 1,2,...,n ) będzie równy 0 tzn. wo(xi) = 0 .

           

                                                                      (2.1.4)

          

            Wielomian (2.1.4) spełnia założone wyżej warunki ponieważ dla x = xo licznik i mianownik w rozpatrywanym wielomianie są sobie równe , a więc w(xo) = 1 .

            Natomiast dla x = xi licznik się zeruje więc i w(xi) = 0 . Na jego podstawie tworzymy wielomian F0(x) spełniający warunek F0(x0) = y0 .

             

                                                                    (2.1.5)

 

  1. Uogólniając powyższe rozumowanie tworzymy wielomian F(x) spełniający warunki (2.1.1) .

 

                      [6]                                           (2.1.6)

        

Formuła (2.1.6) nazywa się wzorem interpolacyjnym Lagrange’a .Dla dowolnych różnych wartości xi i dowolnych wartości yi istnieje dokładnie jeden wielomian Lagrange’a stopnia co najwyżej n .

 

Przykład.

 

Zadanie

           Dane są wartości funkcji y = f(x) w trzech punktach n = 3  :

 

                                        xo=  0  ;  y0 = 2

                                        x1 = 1  ;  y1 = 4

                                        x2 = 2  ;  y2 = 8

 

należy wyznaczyć wielomian interpolacyjny F(x) .

 

Rozwiązanie

 

            Zadanie zostanie rozwiązane dwoma sposobami . Pierwszy sposób polega na wyznaczeniu współczynników wielomianu poprzez rozwiązanie układu równań (2.1.3) . Drugi na bezpośrednim skorzystaniu ze wzoru interpolacyjnego Lagrange’a .

 

Sposób 1.

            Ilość węzłów interpolacyjnych jest równa trzy (n =3) więc szukany wielomian może być co najwyżej stopnia drugiego , dla którego F(0) = 2 , F(1) = 4 , F(2) = 8 . Zapisujemy go w postaci (2.1.2)

 

                                       F(x) = a0 + a1x + a2x2

 

Po podstawieniu otrzymujemy układ równań .

 

                                       a0 + a10 + a202 = 2

                                       a0 + a11 + a212 = 4           

                                       a0 + a12 + a222 = 8   

 

czyli :                                                                      

                                                         a0 = 2       

                                       a0 +   a1 +  a2 = 4     

                                       a0 + 2a1 + 4a2 = 8 

 

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy :  a0 = 2 ;  a1 = 1 ;  a2 = 1 .

Szukany wielomian ma postać :

 

                                       F(x) = 2 + x + x2

 

Sposób  2.

            Korzystamy bezpośrednio ze wzoru interpolacyjnego Lagrange’a . Wzór (3.1.6) dla n = 3 ma postać .

                            

               

                

                              

               

                F(x) = 2 + x + x2

 

Wyniki w obu wypadkach są identyczne .