METODY MODELOWANIA


 

SYSTEM OBSŁUGI TYPU M/M/1 Z KOLEJKĄ

 

Podstawowe informacje o systemie obsługi typu M/M/1 z kolejką:

System typu M/M1 z kolejką jest systemem z pojedynczym stanowiskiem obsługi i maksymalną pojemnością poczekalni (liczba miejsc w kolejce) równą m (L=m).

W systemie tym blokada następuje dopiero w wyniku przyjścia zgłoszenia w sytuacji, gdy w systemie jest m+1 zgłoszeń (jedno na stanowisku, m w kolejce).

Podstawowe charakterystyki systemu:

 

1.   Prawdopodobieństwo stanów systemu:

2.   Prawdopodobieństwo blokady systemu

Blokada następuje wtedy, gdy w poczekalni wszystkie miejsca są zajęte i przychodzące zgłoszenie zostaje odrzucone.

 

3.   Prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia (brak zgłoszeń na stanowisku obsługi lub wolne miejsce w poczekalni)

4.   Średnia liczba zgłoszeń w kolejce:

5.   Średnia liczba zgłoszenia stanowisku obsługi

6.   Średnia liczba zgłoszeń znajdujących się w systemie:

7.   Średni czas oczekiwania w kolejce:

8.   Średni czas pobytu zgłoszenia w systemie:

9.   Średni czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi:

 

 

SYSTEM OBSŁUGI TYPU M/G/1 Z NIEOGRANICZONĄ KOLEJKĄ

 Podstawowe informacje o systemie obsługi typu M/G/1

System typu M / G / 1 nie jest systemem typu markowskiego (nie jest procesem Markowa), a poprzednie metody badania systemów kolejkowych korzystały z tej własności jednorodnego łańcucha Markowa, która polegała na tym, że wybierając dowolny ciąg momentów czasowych {tk}, z przestrzeni czasowej T, to odpowiadający mu ciąg zmiennych losowych  stanowił jednorodny łańcuch Markowa, włożony do procesu  i są to tzw. punkty regeneracyjne procesu. Inaczej rzecz ujmując, każdy punkt przestrzeni czasowej T jest punktem regeneracyjnym procesu, więc gdyby dla systemu M/G/1 udało się znaleźć ciąg punktów regeneracyjnych, to badanie takiego procesu (systemu) można zastąpić badaniem łańcucha włożonego do procesu. Należy tylko znaleźć dla niemarkowskich systemów takiego rodzaju punkty.

Okazało się, że losowe momenty opuszczania systemu przez obsłużone zgłoszenia są właśnie takimi punktami regeneracyjnymi procesu. Tworzą one przeliczalny ciąg {tk} dla kÎN1 – liczby naturalne 1, 2,...

Jeżeli badanym procesem jest proces {N(t), t³0}, którego przestrzenią fazową jest S={0, 1,...} to można oznaczyć przez Nk=N(tk+0) liczbę zgłoszeń w systemie, natychmiast po opuszczeniu systemu przez zgłoszenie z numerem k. Oczywiste jest, iż Nk+1 zależy tylko od Nk, a nie zależy od stanu systemu w momentach poprzedzających tk. Zatem ciąg zmiennych losowych {Nk} stanowi łańcuch Markowa o przestrzeni stanów fazowych S i o wartościach parametru czasowego tk, włożony w proces {N(t), t³0}. W systemie masowej obsługi typu M / G / 1 czas między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy o parametrze l, a czas obsługi niezależny od odstępów czasu między kolejnymi zgłoszeniami (od procesu napływu zgłoszeń), jest zmienną losową o dystrybuancie B(t). Zakładamy, że zmienna ta ma skończoną wartość średnią, równą 1/m i wariancję s2.

Oznaczmy przez: nk – liczbę zgłoszeń w systemie w chwili zakończenia obsługi (i opuszczenia systemu) przez k-te zgłoszenie, a przez rk+1 – liczbę zgłoszeń, które przybyły do systemu w trakcie obsługi zgłoszenia z numerem (k+1). Jest rzeczą oczywistą, że liczby r1,r2,... są od siebie niezależne, a zależność między wielkościami nk i nk+1, bezpośrednio po opuszczeniu systemu przez (k+1) zgłoszenie, można zilustrować w następujący sposób:

 

·        dla nk=0:

 

·        dla nk>0:

 

czyli     nk+1 = nk + rk+1 – 1 + d, gdzie funkcja logiczna d:

 

d =

 

Pogrupujmy wyrazy i podnieśmy do kwadratu obie strony powyższego równania:

Równanie to rozpatrzmy w tzw. stanie stochastycznej równowagi granicznej i obliczmy wartość średnią obu stron, gdy:

z powyższego równania oraz z definicji funkcji logicznej mamy :.

oraz

to otrzymamy:

 

Teraz, kolejno należy określić wielkości występujące w tym równaniu, gdzie  jest wartością średnią liczby zgłoszeń, napływających do systemu, w średnim czasie na obsługę:

Pamiętając o tym, że wejściowym strumieniem jest strumień Poissona, więc prawdopodobieństwo, że w określonym przedziale czasowym (w naszym przypadku jest to czas obsługi zgłoszenia ) nadejdzie dokładnie r zgłoszeń, określone jest następującym wzorem:

Uwzględniając to wyrażenie można określić wartość średnią kwadratu liczby zgłoszeń przychodzących do systemu w określonym czasie obsługi , jako:

oraz, pamiętając o tym, że  jest zmienną losową o rozkładzie B(t) otrzymamy:

gdzie pierwsza część to wzór na moment pierwszego rzędu (m1), druga zaś to moment drugiego rzędu (m2), czyli

z kolei              m2 – m12 = s2

to                    

 

Następnie, jeśli korzystamy z określenia funkcji logicznej d, to można zapisać:

i dalej, jeśli rozważyć wartości średniej obu stron równania dla nk+1

to dla stanu ustalonego otrzymamy:

 

Ostatecznie wyrażenie dla obliczenia wartości średniej wygląda następująco:

Stąd

i ostatecznie

Inne parametry (charakterystyki) systemu można obliczyć w oparciu między innymi, o wzory Little’a:

·        średnia liczba zgłoszeń na stanowisku obsługi:

·        średnia liczba zgłoszeń w kolejce:

gdzie  - średni czas obsługi

·        średni czas oczekiwania zgłoszeń w kolejce:

·        średni czas pobytu zgłoszenia w systemie:

 

Można wydzielić dwa podstawowe przypadki w takich systemach:

·        rozkład deterministyczny (stale czasy obsługi):

·        rozkład wykładniczy:

Te dwa graniczne przypadki wyznaczają przedziały, w których zawarte są wartości podstawowych parametrów systemów z dowolnym innym rozkładem, ale identycznymi intensywnościami l i m.

 

Zadanie 1:

Dla danych wartości r obliczyć i przedstawić graficznie następujące charakterystyki:

-        średnią liczbę zgłoszeń w systemie,

-        średnią liczbę zgłoszeń w kolejce,

-        średni czas pobytu zgłoszenia w systemie dla danego l,

-        średni czas w kolejce dla danego l,

Dla następujących rozkładów:

-        rozkładu wykładniczego,

-        rozkładu deterministycznego,

-        ,

-        ,

-        ,

-        .